Tips 1: Hur man löser ett system med tre okända


Ekvationssystem med tre obekanta (Juli 2019).

Anonim

Ett linjärt system med tre okända har flera lösningar. Du kan hitta lösningen av systemet med Kremers regel genom determinanterna, med Gauss-metoden eller med en enkel substitutionsmetod. Substitutionsmetoden är grundläggande för att lösa system med linjära ekvationer av liten ordning. Den består i alternerande uttryck från varje ekvation i systemet med en okänd variabel, ersätter den i följande ekvation och förenklar de erhållna uttrycken.

instruktion

1

Skriv ner det ursprungliga systemet av ekvationer i den tredje ordningen. Från den första ekvationen i systemet, uttryck den första okända variabeln x. För att göra detta, överför villkoren som innehåller andra variabler med lika tecken. Överförda medlemmar ändrar tecknet motsatsen.

2

Om det finns en annan koefficient än en för multiplikatorn med den uttryckta variabeln, dela hela ekvationen med dess värde. Således får du variabeln x, uttryckt genom de övriga villkoren i ekvationen.

3

Ersätt i den andra ekvationen istället för x det uttryck som du kom från den första ekvationen. Förenkla posten genom att lägga till eller subtrahera sådana medlemmar. Liknande på föregående steg uttrycker du följande okända variabel y från den andra ekvationen. Överför även alla andra termer med lika tecken och dela hela ekvationen med koefficienten y.

4

I den sista tredje ekvationen ersätt de två okända variablerna x och y de uttryckta värdena från systemets första och andra ekvationer. Och i uttrycket x ersätter du också variabeln y. Förenkla den resulterande ekvationen. Endast den tredje variablen z kommer att förbli i den som en okänd mängd. Uttryck det från ekvationen, som beskrivits ovan, och beräkna dess värde.

Tips 2: Hur man löser ett system med tre ekvationer med tre okända

Ett system med tre ekvationer med tre okända kan inte ha lösningar, trots ett tillräckligt antal ekvationer. Du kan försöka lösa det med hjälp av substitutionsmetoden eller med Kramer-metoden. Kramer-metoden, förutom att lösa systemet, gör det möjligt att bedöma huruvida systemet är lösligt innan man hittar de okända värdena.

instruktion

1

Substitutionsmetoden består i sekventiell expression av en okänd genom två andra och substitutionen av resultatet erhållet i systemekvationerna. Låt ge ett system med tre ekvationer i allmänhet:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Uttryck från den första ekvationen x: x = (d1 - b1y - c1z) / a1 - och ersätt i den andra och tredje ekvationen, och från den andra ekvationen uttrycker y och ersätter i den tredje. Du kommer att få ett linjärt uttryck för z när det gäller koefficienterna för ekvationerna i systemet. Gå nu tillbaka: ersätt z i den andra ekvationen och hitta y, ersätt sedan z och y i den första och hitta x. Processen i dess allmänna form visas i figuren innan du hittar z. Ytterligare inspelning i generell form kommer att vara för besvärlig, i praktiken, ersätta siffror, du kan enkelt hitta alla tre okända.

2

Cramers metod består i att sammanställa systemmatrisen och beräkna determinanten av denna matris, liksom tre ytterligare hjälpmatriser. Systemets matris består av koefficienter med okända termer av ekvationerna. Kolumnen som innehåller siffrorna på höger sida av ekvationerna kallas höger sidokolumn. Den används inte i systemmatrisen, men används för att lösa systemet.

3

Låt, som tidigare, ges ett system med tre ekvationer i allmänhet:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Då matrisen av detta system av ekvationer kommer att vara följande matris:
| a1 b1 c1 |
| a2 b2 c2 |
| a3 b3 c3 |
Först och främst, hitta determinanten av systemmatrisen. Formeln för att hitta determinant: | A | = a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1 - a3b2c1 - a2b1c3 - a1b3c2. Om det inte är lika med noll, är systemet lösbart och har en unik lösning. Nu måste vi hitta determinanterna av tre matriser som erhålls från systemets matris genom att ersätta kolumnen för de högra delarna för den första kolumnen (betecknad med Ax) istället för den andra (Ay) och den tredje (Az). Beräkna deras determinanter. Då x = | Ax | / | A |, y = | Ay | / | A |, z = | Az | / | A |.

  • System av tre linjära ekvationer med tre okända

Tips 3: Hur man löser en ekvation med tre okända

I sig har en ekvation med tre okända många lösningar, därför kompletteras den oftast med ytterligare två ekvationer eller förhållanden. Beroende på vad källdata är, beror beslutets gång i stor utsträckning.

Du behöver

  • - ett system med tre ekvationer med tre okända.

instruktion

1

Om två av de tre ekvationerna i systemet bara har två okända av de tre, försök att uttrycka en variabel genom den andra och ersätta dem i en ekvation med tre okända . Samtidigt är ditt mål att göra det till en enkel ekvation med en okänd. Om detta lyckas är en ytterligare lösning ganska enkel - ersätt det funna värdet i andra ekvationer och hitta alla andra okända.

2

Vissa system av ekvationer kan lösas genom att subtrahera den andra från en ekvation. Se om det är möjligt att multiplicera ett av uttrycken med ett tal eller en variabel så att vid avdragning minskas två okända på en gång. Om det finns ett sådant tillfälle, använd det, troligtvis kommer den efterföljande lösningen inte vara svårt. Glöm inte att när du multiplicerar med ett tal måste du multiplicera både vänster och höger sida. På samma sätt, när man subtraherar ekvationer måste man komma ihåg att den högra sidan måste också subtraheras.

3

Om de tidigare metoderna inte hjälpte, använd den allmänna metoden för att lösa alla ekvationer med tre okända . För att göra detta, skriv om ekvationerna i formen a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3. Gör nu en matris av koefficienter för x (A), en matris med okända (X) och en matris med fria termer (B). Obs, multiplicera matrisen av koefficienter med matrisen av okända, du får en matris som är lika med matrisen av fria termer, det vill säga A * X = B.

4

Hitta matrisen A i grad (-1) efter att ha hittat determinanten av matrisen, notera att den inte borde vara noll. Därefter multiplicera den resulterande matrisen med matrisen B, vilket resulterar i att du får den önskade matrisen X med alla angivna värden.

5

Lösningen av ett system med tre ekvationer kan också hittas med användning av Cramer-metoden. För att göra detta, hitta den tredje ordningens determinant A som motsvarar systemets matris. Sedan hitta successivt tre ytterligare determinanter Δ1, Δ2 och Δ3, som ersätter värdena för fria termer i stället för värdena för motsvarande kolumner. Hitta nu x: x1 = A1 / A, x2 = A2 / A, x3 = A3 / A.

  • lösningar av ekvationer med tre okända