Hur man hittar asymptoter

Asymptot (April 2019).

Anonim

Asymptoten i grafen för funktionen y = f (x) kallas en rak linje vars graf obestämd närmar sig grafen av funktionen med obegränsad borttagning av en godtycklig punkt M (x, y) som hör till f (x) till oändligheten (positiv eller negativ), aldrig korsar grafen funktion. Att ta bort en punkt till oändlighet innebär fallet då endast ordinaten eller abscissen y = f (x) tenderar att vara oändligt. Det finns vertikala, horisontella och snedställda asymptoter.

Du behöver

  • - papper;
  • penna
  • - linje.

instruktion

1

I praktiken finns vertikala asymptoter helt enkelt. Dessa är nollpunkterna i nämnaren av funktionen f (x).
Den vertikala asymptoten är en vertikal linje. Hennes ekvation är x = a. dvs När x tenderar att vara en (höger eller vänster) tenderar funktionen att vara oändlig (positiv eller negativ).

2

Den horisontella asymptoten är den horisontella linjen y = A, till vilken grafen för funktionen närmar sig gränsen när x närmar sig oändligheten (positivt eller negativt) (se fig 1), dvs.

3

Oblique asymptoter är lite mer komplicerade. Deras definition är densamma, men de ges av raklinjekvationen y = kx + b. Avståndet från asymptoten till funktionsgrafen här, enligt Figur 1, är | MP |. Självklart, om | MP | tenderar att noll, då längden på segmentet | MN | tenderar till noll. Punkt M är asymptoteordinaten, N är funktionen f (x). Abscissen är vanlig.
Avståndet | MN | = f (xM) - (kxM + b) eller helt enkelt f (x) - (kx + b), där k är tangentvinkeln för den kryddiga (asymptoten) till x-axeln. f (x) - (kx + b) tenderar att vara noll, därför kan k hittas som gränsen för förhållandet (f (x) - b) / x, med x som sträcker sig till oändligheten (se fig 2).

4

Efter att ha hittat k, är det nödvändigt att bestämma b, beräkna gränsen för skillnaden f (x) - kx, med x som tenderar till oändlighet (se fig 3).
Därefter måste du plotta asymptoten, liksom den raka linjen y = kx + b.

5

Ett exempel. Hitta asymptoterna i grafen för funktionen y = (x ^ 2 + 2x-1) / (x-1).
1. Tydlig vertikal asymptot x = 1 (som nollnämnare).
2. y / x = (x ^ 2 + 2x-1) / (x-1) x = (x ^ 2 + 2x-1) / (x ^ 2-x). Därför beräknar du gränsen
vid oändlighet från den sista rationella fraktionen får vi k = 1.
f (x) -kx = (x ^ 2 + 2x-1) / (x-1) - x = (x ^ 2 + 2x-1-x ^ 2 + x) / (x-1) = 3x / x-1) - 1 / (x-1).
Så du får b = 3. . Den initiala snedställda asymptotekvationen kommer att vara: y = x + 3 (se fig 4).