Hur man hittar vinkeln mellan parallellogrammets diagonaler


8 - Geometri - Triangelns area (Juli 2019).

Anonim

Innan du söker en lösning på problemet bör du välja den lämpligaste lösningen för att lösa problemet. Den geometriska metoden kräver ytterligare konstruktioner och deras berättigande, därför är det i detta fall mest lämpligt att använda en vektorteknik. För detta ändamål används riktade segment - vektorer.

Du behöver

  • - papper;
  • penna
  • - linje.

instruktion

1

Låt parallellogrammet ges av vektorer av dess två sidor (de andra två är lika i par) enligt fig. 1. Faktum är att det finns mycket lika vektorer på ett plan. Detta kräver jämnhet av deras längd (mer exakt modulerna - | a |) och den riktning som ges av lutningen till någon axel (i kartesiska koordinater är det 0X-axeln). Därför, för enkelhetens skull definierar vektorer i regel av dessa typer av vektorer som radiusvektorer r = a, för vilka ursprunget alltid ligger vid ursprunget.

2

För att hitta vinkeln mellan parallellogrammets sidor , måste vi beräkna geometrisumman och skillnaden mellan vektorerna, liksom deras skalärprodukt (a, b). Enligt parallellogramregeln är den geometriska summan av vektorerna a och b lika med någon vektor c = a + b, vilken är konstruerad och ligger på diagonalen av parallellogramet AD. Skillnaden mellan a och b är vektorn d = ba, byggd på den andra diagonala BD. Om vektorerna ges av koordinater, och vinkeln mellan dem är φ, är deras skalärprodukt ett tal som är lika med produkten av modulerna hos vektorerna och cos φ (se fig 1): (a, b) = | a || b | cos φ

3

I kartesiska koordinater, om a = {x1, y1} och b = {x2, y2}, då (a, b) = x1y2 + x2y1. Vidare är vektorns skalära kvadrat (a, a) = | a | ^ 2 = x1 ^ 2 + x2 ^ 2. För vektor b är det liknande. Då: | a || b | cos f = x1y2 + x2y1. Därför cosf = (x1y2 + x2y1) / (| a || b |). Algoritmen för att lösa problemet är således följande: 1. Att hitta koordinaterna för parallellogramdiagonala vektorer som vektorer av summan och skillnaden hos vektorerna hos dess sidor med = a + b och d = ba. I detta fall tillsätts de motsvarande koordinaterna a och b enkelt eller subtraheras. c = a + b = {x3, y3} = {x1 + x2, y1 + y2}, d = ba = {x4, y4} = {x2-x1, y2-y1}. 2. Hitta cosinus av vinkeln mellan vektorerna i diagonalerna (låt oss kalla det FD) enligt följande allmänna regel cosff = (x3y3 + x4y4) / (| c || d |)

4

Ett exempel. Hitta vinkeln mellan diagonalerna i parallellogrammet definierat av vektorerna på dess sidor a = {1, 1} och b = {1, 4}. Beslutet. Enligt ovanstående algoritm måste du hitta diagonala vektorer c = {1 + 1, 1 + 4} = {2, 5} och d = {1-1, 4-1} = {0, 3}. Beräkna nu cosfd = (0 + 15) / (sqrt (4 + 25) sqrt9) = 15 / 3sqrt29 = 0, 92. Svar: fd = arcos (0.92).