Tips 1: Hur man beräknar gränsen för sekvensen

Anonim

Om en variabel, sekvens eller funktion har ett oändligt antal värden som varierar enligt en viss lag, kan det tendera att ett gränsvärde, vilket är gränsen för sekvensen . Gränser kan beräknas på olika sätt.

Du behöver

  • - begreppet numerisk sekvens och funktion
  • - förmågan att ta derivat
  • - förmågan att transformera och minska uttryck
  • - kalkylator.

instruktion

1

För att beräkna gränsen, ersätt gränsvärdet för argumentet i dess uttryck. Prova en beräkning. Om detta är möjligt är värdet av uttrycket med det substituerade värdet det önskade numret. Exempel: Hitta värdena för gränsen för en sekvens med en gemensam medlem (3 • x? -2) / (2 • x? +7), om x> 3. Ställ in gränsen i sekvensens uttryck (3 • 3? -2) / (2 • 3? +7) = (27-2) / (18 + 7) = 1.

2

Om det finns tvetydighet i substitutionsförsöket, välj hur det kan elimineras. Detta kan göras genom att konvertera uttrycken i vilka sekvensen är skriven. Har gjort en minskning, få resultatet. Exempel: Sekvensen (x + vx) / (x-vx) när x> 0. Direkt substitution resulterar i en osäkerhet på 0/0. Bli av med det genom att ta ut den gemensamma faktorn från täljaren och nämnaren. I det här fallet blir det vx. Få (vx • (vx + 1)) / (vx • (vx-1)) = (vx + 1) / (vx-1). Nu kommer substitutionsfältet att få 1 / (- 1) = - 1.

3

När, med osäkerhet, en fraktion inte kan reduceras (speciellt om sekvensen innehåller irrationella uttryck) multiplicera dess täljare och nämnare med det konjugerade uttrycket för att avlägsna irrationaliteten från nämnaren. Exempel: Sekvensen x / (v (x + 1) -1). Värdet på variabeln x> 0. Multiplicera täljaren och nämnaren med konjugatuttrycket (v (x + 1) +1). Få (x (1 (+1) +1)) / ((v (x + 1) -1) • (v (x + 1) +1)) = (x • (v (x + 1) +1)) / (x + 1-1) = (x • (v (x + 1) +1)) / x = v (x + 1) +1. Efter att ha gjort substitution, ta emot = v (0 + 1) + 1 = 1 + 1 = 2.

4

Med osäkerhet om typ 0/0 eller? /? använd regeln för l'Hôpital För detta ändamål representerar täljaren och nämnaren av sekvensen som en funktion, ta derivaten från dem. Gränsen för deras förhållande kommer att vara lika med gränsen för förhållandet mellan funktionerna själva. Exempel: Hitta gränsen för sekvensen ln (x) / vx, för x>? Direkt substitution ger osäkerhet? /?. Ta derivaten av täljaren och nämnaren och få (1 / x) / (1/2 • vx) = 2 / vx = 0.

5

För att avslöja osäkerheter, använd den första anmärkningsvärda gränsen sin (x) / x = 1 för x> 0 eller den andra anmärkningsvärda gränsen (1 + 1 / x) ^ x = exp for x>?. Exempel: Hitta gränsen för sekvensen synden (5 x) / (3 x) för x> 0. Transformera expressionssynet (5 • x) / (3/5 • 5 • x) genom att multiplicera faktorn från nämnaren 5/3 • (sin (5 • x) / (5 • x)) med den första anmärkningsvärda gränsen får 5/3 • 1 = 5/3.

6

Exempel: Sök gränsen (1 + 1 / (5 • x)) ^ (6 • x) för x>?. Multiplicera och dela exponenten med 5 • x. Hämta uttrycket ((1 + 1 / (5 x)) ^ (5 x)) ^ (6 x) / (5 x). Använda regeln för den andra anmärkningsvärda gränsen, få exp ^ (6 • x) / (5 • x) = exp.

Tips 2: Hur man beräknar gränsen

Teorin om gränser är ett ganska omfattande område för matematisk analys. Detta begrepp är tillämpligt på en funktion och är en konstruktion av tre element: noteringslimen, uttrycket under gränssignalen och gränsvärdet för argumentet.

instruktion

1

För att beräkna gränsen är det nödvändigt att bestämma vilken funktion som är lika med den punkt som motsvarar argumentets gränsvärde. I vissa fall har uppgiften inte en ändlig lösning, och substitutionen av det värde som variabeln syftar till ger osäkerhet om formen "noll till noll" eller "oändlighet till oändlighet". I detta fall gäller regeln som härrör från Bernoulli och L'Hapital, vilket innebär att man tar det första derivatet.

2

Liksom alla andra matematiska begrepp kan gränsen innehålla, under eget tecken, ett funktionsuttryck som är för besvärligt eller obekvämt för enkel substitution. Då är det nödvändigt först att förenkla det med hjälp av konventionella metoder, till exempel gruppering, avledande av en gemensam faktor och ersättning av en variabel där argumentets gränsvärde ändras.

3

Tänk på ett exempel för att göra teorin mer synlig. Hitta gränsen för funktionen (2 • x² - 3 • x - 5) / (x + 1) med x som strävar efter att 1. Gör en enkel substitution: (2 • 1² - 3 • 1 - 5) / (1 + 1) = - 6/2 = -3.

4

Lycka dig, funktionstrycket är meningsfullt för ett givet gränsvärde för argumentet. Detta är det enklaste fallet att beräkna gränsen. Lös nu följande problem, där det tvetydiga begreppet oändlighet uppträder: lim_ (x → ∞) (5 - x).

5

I detta exempel tenderar x att vara oändligt, dvs ständigt ökande. I uttrycket visas variabeln med ett minustecken, ju ju högre värdet av variabeln är, desto mer minskar funktionen. Därför är gränsen i detta fall -∞.

6

Bernoulli-L'Hôpitalregeln: lim_ (x → -2) (x ^ 5 - 4 • x³) / (x³ + 2 • х²) = (-32 + 32) / (- 8 + 8) = [0/0]. Differensiera uttrycket: lim (5 • x ^ 4 - 12 • x²) / (3 • x² + 4 • x) = (5 • 16 - 12 • 4) / (3 • 4-8) = 8.

7

Variabel förändring: lim_ (x → 125) (x + 2 • ∛x) / (x + 5) = [y = ∛x] = lim_ (y → 5) (y3 + 2 • y) / (y3 + 3) = (125 + 10) / (125 + 5) = 27/26.