Hur man tar upp ett komplext tal till en kraft


How the worst moments in our lives make us who we are | Andrew Solomon (Maj 2019).

Anonim

Det finns inte tillräckligt med reella tal för att lösa någon kvadratisk ekvation. Den enklaste av de kvadratiska ekvationerna som inte har några rötter bland de reella siffrorna är x ^ 2 + 1 = 0. När man löser det visar sig att x = ± sqrt (-1), och enligt lagarna för elementäralgebra är det omöjligt att extrahera en jämn kraftrots från ett negativt tal. I det här fallet finns det två sätt: följ de etablerade förbuden och antar att denna ekvation inte har några rötter, eller utvidga systemet med reella tal i en sådan utsträckning att ekvationen kommer att ha en rot.

Du behöver

  • - papper;
  • - penna

instruktion

1

Således uppträdde begreppet komplexa tal av formen z = a + ib, där (i ^ 2) = - 1, där jag är en imaginär enhet. Numren a och b kallas respektive de reella och imaginära delarna av siffran z Rez och Imz.

2

En viktig roll i åtgärder med komplexa tal spelas av komplexa konjugatnummer. Konjugatet till det komplexa talet z = a + ib heter zs = a-ib, det vill säga numret som har motsatt tecken före den imaginära enheten. Så, om z = 3 + 2i, då zs = 3-2i. Något riktigt tal är ett speciellt fall av ett komplext tal, vars imaginära del är noll. 0 + i0 är ett komplext tal som är lika med noll.

3

Komplexa tal kan läggas till och multipliceras på samma sätt som med algebraiska uttryck. I detta fall gäller de vanliga lagarna för addition och multiplikation. Z1 + z2 = (a1 + a2) + i (b1 + b2), z1-z2 = (a1-a2) + I (b1-B2) + i (b1-b2) . Multiplikation.z1 * z2 = (a1 + ib1) (a2 + ib2) = a1a2 + ia1b2 + ia2b1 + (i ^ 2) b1b2 = (a1a2-b1b2) + i (a1b2 + a2b1). När multiplicerat, öppna bara parenteserna och tillämpa definitionen I ^ 2 = -1. Produkten av komplexa konjugatnummer är ett reellt tal m: z * zs = (a + ib) (a-ib) == a ^ 2- (i ^ 2) (b ^ 2) = a ^ 2 + b ^ 2.

4

Division. För att minska kvotienten z1 / z2 = (a1 + ib1) / (a2 + ib2) till standardformen måste du bli av med den imaginära enheten i nämnaren. Det enklaste sättet att göra detta är att multiplicera täljaren och nämnaren med talkonjugatet till nämnaren: ((a1 + ib1) (a2-ib2)) / (a2 + ib2) (a2-ib2)) = ((a1a2 + b1b2) + i (a2b1) -a1b2)) / (a ​​^ 2 + b ^ 2) = (a1a2 + b1b2) / (a ​​^ 2 + b ^ 2) + i (a2b1-a1b2) / (a ​​^ 2 + b ^ 2). och subtraheringar samt multiplikationer och uppdelningar är ömsesidiga.

5

Ett exempel. Beräkna (1-3i) (4 + i) / (2-2i) = (4-12i + i + 3) (2 + 2i) / ((2-2i) (2 + 2i)) = (7-11i ) (2 + 2i) / (4 + 4) = (14 + 22) / 8 + i (-22 + 14) / 8 = 9/2-i Tänk på den geometriska tolkningen av komplexa tal. För att göra detta måste varje komplext tal z = a + ib i ett plan med ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem 0x associeras med en punkt i planet med koordinaterna a och b (se fig 1). Det plan som denna korrespondens är implementerat kallas det komplexa planet. Riktnummer finns på 0x-axeln, så det kallas den reella axeln. På 0-axeln är det imaginära talet, det kallas den imaginära axeln.

6

Varje punkt z av det komplexa planet är associerat med radiusvektorn för denna punkt. Längden på radiusvektorn som representerar det komplexa talet z kallas modulen r = | z | komplext tal och vinkeln mellan den riktiga axelns positiva riktning och riktningen för vektorn 0Z kallas argumentet argz för detta komplexa tal.

7

Ett argument av ett komplext tal anses vara positivt om det räknas från 0x-axelns positiva riktning moturs och negativ med motsatt riktning. Ett komplext tal motsvarar uppsättningen värden för argumentet argz + 2пk. Av dessa värden är huvudvärdena argz, som sträcker sig från -n till n. De adjoint komplexa talen z och zs har lika moduler, och deras argument är lika med absolutvärde men skiljer sig åt i tecken. Således, | z | ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, | z | = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2). Så, om z = 3-5i, då | z | = sqrt (9 + 25) = 6. Dessutom, eftersom z * zs = | z | ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 blir det möjligt att beräkna modulen för hela komplexa uttryck där den imaginära enheten kan uppträda flera gånger.

8

Eftersom z = (1-3i) (4 + i) / (2-2i) = 9/2-i kommer direkt beräkning av modulen z att ge | z | ^ 2 = 81/4 + 1 = 85/4 och | z | = sqrt (85) / 2. Genom att gå igenom beräkningssteget med tanke på att zs = (1 + 3i) (4-i) / (2 + 2i) kan vi skriva: | z | ^ 2 = z * zs = = (1-3) (1 + 3i) (4 + i) (4-i) / ((2-2i) (2 + 2i)) = (1 + 9) (16 + 1) / (4 + 4 ) = 85/4 och | z | = sqrt (85) / 2.

  • exponentiering av ett komplext nummer online år 2019