Tips 1: Hur man hittar koordinaterna för skärningspunkten i höjder i en triangel


Grafritande räknare (Juni 2019).

Anonim

En linje som dras från toppen av en triangel vinkelrätt mot motsatt sida kallas dess höjd . Att känna till koordinaterna för trianglarna kan du hitta sitt orthocenter - skärningspunkten för höjder.

instruktion

1

En kvadratisk funktion är en funktion av formen y = ax ^ 2 + bx + c, där a är den ledande koefficienten (den måste vara icke-noll), b är den lägsta koefficienten och c är fri termen. Denna funktion ger sitt schema en parabola, vars grenar riktas antingen uppåt (om a> 0) eller ner (om a <0). När a = 0 degenererar den kvadratiska funktionen till en linjär funktion.

2

Hitta x0-koordinaten för parabolens toppunkt . Det finns med formeln x0 = -b / a.

3

y0 = y (x0). För att hitta y0-koordinaten för parabola vertex är det nödvändigt att ersätta det funna värdet x0 i funktionen istället för x. Räkna vad y0 är.

4

Koordinaterna för parabolens toppunkt finns. Skriv dem i form av koordinater av en punkt (x0, y0).

5

När du bygger en parabola, kom ihåg att det är symmetriskt om parabolens symmetriaxel, som passerar vertikalt genom parabolens topp, eftersom kvadratisk funktion är jämn. Därför är det tillräckligt att konstruera endast en gren av en parabola genom punkter och den andra att konstruera en symmetrisk.

Tips 3: Hur man hittar skärningspunkten för trianglarnas höjder

Höjden på en triangel kallas en vinkelrätt släppt från triangeln till den motsatta sidan eller dess förlängning. Korsningspunkten för de tre höjderna kallas orthocenteret. Konceptet och egenskaperna hos ett orthocenter är användbara för att lösa problem på geometriska konstruktioner.

Du behöver

  • triangel, linjal, penna, penna koordinater av triangeln hörn

instruktion

1

Bestäm av typen av befintlig triangel . Det enklaste fallet är en rätt triangel, eftersom benen samtidigt fungerar som två höjder. Den tredje höjden av en sådan triangel ligger på hypotenusen. Vidare sammanfaller orthocenteret i en högra triangel med vertexen i rätt vinkel.

2

I fallet med en akut triangel kommer skärningspunkten för höjderna att ligga inne i figuren. Rita från varje toppunkt i triangeln en linje vinkelrätt mot sidan motsatt vertexen. Alla dessa rader skärs på en punkt. Det här är det önskade orthocenteret.

3

Korspunkten för höjden av den stumma triangeln kommer att ligga utanför figuren. Innan vinkelrätt mot höjden på toppunkterna måste du först fortsätta linjerna som bildar triangeln i trubbig vinkel. I det här fallet faller vinkeln inte på sidan av triangeln, utan på linjen som innehåller denna sida. Ytterligare höjder faller och deras korsningspunkt hittas som beskrivits ovan.

4

Om koordinaterna för trianglarna är kända på ett plan eller i rymden är det lätt att hitta koordinaterna för skärningspunkten för höjderna. Om A, B, C är beteckningarna av vinklarna, O är orthocenteret, så är segmentet AO vinkelrätt mot segmentet BS och BO är vinkelrätt mot AC, varigenom ekvationerna AO-BC = O, BO-AC = 0 erhålls. Detta system med linjära ekvationer är tillräckligt för att hitta koordinaterna för punkten O på planet. Beräkna koordinaterna för vektorerna BC och AC genom att subtrahera motsvarande koordinater för den första punkten från koordinaterna för den andra punkten. Du antar att punkten O har koordinaterna x och y (O (x, y)), och löser sedan ett system med två ekvationer med två okända. Om problemet anges i rymden, ska systemet lägga till ekvationen AO-a = 0, där vektorn a = AB * AC.

Var uppmärksam

Förväxla inte skärningspunkten för höjder (orthocenter) med skärningspunkten för medianer (centroider), bisektorer eller median perpendiculars (ritad genom mitten av varje sida av triangeln).

Bra råd

För att bestämma orthocenteret är det tillräckligt att hitta skärningspunkten med två höjder av tre, eftersom höjden av en triangel alltid skärs vid en punkt.

  • Interaktiv formelreferens.
  • korsar höjder

Tips 4: Hur man hittar koordinaterna för median skärningspunkter

Från skolens geometri är det känt att medianerna i en triangel skär på en punkt. Därför bör samtalet vara om korsningspunkten, och inte om flera punkter.

instruktion

1

Först måste du diskutera valet av ett koordinatsystem som är lämpligt för att lösa problemet. Vanligtvis i problem av detta slag placeras en av sidorna av triangeln på 0X-axeln så att en punkt sammanfaller med ursprunget. Därför är det inte nödvändigt att avvika från beslutets allmänt accepterade kanoner och också göra (se figur 1). Sättet att ställa triangeln själv spelar inte en grundläggande roll, eftersom du alltid kan flytta från en av dem till den andra (som du kan se senare).

2

Låt den önskade triangeln ges av två vektorer av dess sidor AC och AB a (x1, y1) respektive b (x2, y2). Vidare, genom konstruktion, y1 = 0. Den tredje sidan av BC motsvarar c = ab, c (x1-x2, y1 -y2) enligt denna illustration. Punkt A placeras vid ursprunget, det vill säga dess koordinater är A (0, 0). Det är också lätt att notera att koordinaterna är B (x2, y2), en C (x1, 0). Av detta kan vi dra slutsatsen att tilldelningen av en triangel med två vektorer automatiskt sammanföll med uppgiften med tre punkter.

3

Därefter ska du fylla i önskad triangel till motsvarande parallellogram ABDC i storlek. Det är känt att vid skärningspunkten för parallellogrammets diagonaler är de delade i halva, så att QQ är medianen av triangeln ABC, faller från A till flygplanets sida. Diagonalvektorn s innehåller denna median och är genom parallellogramregeln den geometriska summan av a och b. Då s = a + b, och dess koordinater är s (x1 + x2, y1 + y2) = s (x1 + x2, y2). Samma koordinater kommer att vara vid punkten D (x1 + x2, y2).

4

Nu kan vi gå vidare till sammanställningen av ekvationen för en linje som innehåller s, medianen AQ och, viktigast av allt, den önskade skärningspunkten för medianerna H. Eftersom vektorn s i sig är en guide för denna raka linje och punkten A (0, 0) också är känd, Det är enklast att använda ekvationen av en platt rak linje i kanonisk form: (x-x0) / m = (y-y0) / n. Här (x0, y0) är koordinaterna för en godtycklig punkt för den raka linjen (punkt A (0, 0), och (m, n) är koordinaterna för s (vektor (x1 + x2, y2). Således ser den önskade raden l1 ut: x / (x1 + x2) = y / y2.

5

Det mest naturliga sättet att hitta koordinaterna för en punkt är att definiera det vid korsningen av två raka linjer. Därför är det nödvändigt att hitta en annan rak linje innehållande så kallad N. För detta, i fig. 1, en ytterligare parallellogram APBC har byggts, vars diagonala är g = a + c = g (2x1-x2, -y2) innehåller den andra median CW som sänks från C till AB-sidan. Denna diagonal innehåller punkten C (x1, 0), vars koordinater spelar rollen som (x0, y0) och styrvektorn här kommer att vara g (m, n) = g (2x1-x2, -y2). Därför ges l2 av ekvationen: (x-x1) / (2x1-x2) = y / (- y2).

6

Efter att ha löst ihop ekvationerna för l1 och l2 är det lätt att hitta koordinaterna för skärningspunkten för medianerna H: H ((x1 + x1) / 3, y2 / 3).

Tips 5: Hur man bygger en skärningslinje av två trianglar

Beskrivande geometri utgör grunden för många teoretiska utvecklingar inom teknikteckning. Kunskap om denna teori vid konstruktion av bilder av geometriska objekt är nödvändigt för att på ett tillförlitligt sätt uttrycka sina idéer med hjälp av en ritning.

instruktion

1

Uppgiften att bygga en korsningslinje för 2 plan kan kallas grundläggande i teorin om teknisk ritning. För att bilda skärningslinjen för 2 trianglar måste du bestämma punkterna som tillhör båda plana figurerna.

2

För att lösa problemet ska du bygga två trianglar ABC och EDK i front- och horisontalprojektion. Kör sedan genom sidan AB i triangeln ABC hjälpplan Ph, dess horisontella projektion. Detta horisontella plan bildar skärningslinjen 1-2 med planet för den andra triangeln EDK, där punkterna 1 och 2 är på sidorna ED och EK.

3

På samma sätt, hitta skärningslinjen 1'-2 'av det horisontella utskjutande planet Рn, ritat genom sidan A'B' i triangeln ABCs främre utskjutning. Frontprojektionerna 1'-2 'och A'B skär varandra och ger skärningspunkten M', dess frontprojektion.

4

Rita en kommunikationslinje från frontprojektionen till det horisontella utsprånget och därmed hitta den horisontella projektionen av punkt M.

5

Bestäm den andra korsningspunkten för planet för triangeln ABC och triangeln EDK, för vilken dra genom sidodonet i triangeln EDK hjälpplanet Qv, dess främre projektion. Korsningen av planet Qv med planet för triangeln ABC blir linjen 3-4 och linjen 3'-4 'i dess frontprojektion. 3-4 och DK horisontella utsprång skär varandra och ger skärningspunkten N, dess horisontella projektion.

6

Rita en kommunikationslinje från det horisontella projektionen till frontprojektionen och hitta därmed punkten N ', dess främre projektion.

7

Anslut projiceringspunkterna för skärningslinjen MN och skärningslinjen M'N '. Som ett resultat får du två snittlängder av trianglar EDK och ABC i sina front- och horisontella prognoser.

  • korsningen av planen av trianglar

Tips 6: Hur man hittar höjden på en triangel, om den ges poängens koordinater

Höjden i triangeln kallas det raka linjesegmentet, som förbinder toppen av figuren med motsatt sida. Detta segment måste vara vinkelrätt mot sidan, så endast en höjd kan dras från varje toppunkt. Eftersom det finns tre toppar i denna figur finns det lika många höjder i den. Om triangeln ges av koordinaterna för dess vertikaler kan beräkningen av längden på vardera höjden göras, exempelvis genom att använda områdesföreformeln och beräkna längden på sidorna.

instruktion

1

Fortsätt i beräkningarna från det faktum att området av en triangel är lika med hälften av produkten av längden av någon av dess sidor av längden av höjden sänkt på denna sida. Av denna definition följer att för att hitta höjden behöver man känna området i figuren och längden på sidan.

2

Börja med att beräkna längderna på sidorna av triangeln . Betecknar koordinaterna för figurerna i figuren som: A (X1, Y1, Z1), B (X2, Y2, Z2) och C (X3, Y3, Z3). Då kan du beräkna längden på sidan AB med formeln AB = √ ((X1-X2) ² + (Y1-Y2) ² + (Z1-Z2) ²). För de andra två sidorna ser dessa formler ut så här: BC = √ ((X2-X3) ² + (Y2-Y3) ² + (Z2-Z3) ²) och AC = √ ((X1-X3) ² + (Y1- Y3) ² + (Z1-Z3) ²). Till exempel, för en triangel med koordinaterna A (3, 5, 7), B (16, 14, 19) och C (1, 2, 13) ​​är sidans AB längd √ ((3-16) ² + (5-14) ² + (7-19) ²) = √ (-13² + (-9²) + (-12²)) = √ (169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19.85. Längden på sidorna BC och AC, beräknad på samma sätt, är √ (15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20.12 och √ (2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

3

Kunskap om längderna på de tre sidor som erhållits i föregående steg är tillräckliga för att beräkna ytan av triangeln (S) med hjälp av heronformeln: S = ¼ * √ ((AB + BC + CA) * (BC + CA-AB) * (AB + CA-BC) ) * (AB + BC-CA)). Till exempel, efter att ha ersatt de värden som erhållits från koordinaterna för prov- triangeln från föregående steg till denna formel, kommer denna formel att ge följande värde: S = ¼ * √ ((19, 85 + 20, 12 + 7) * (20, 12 + 7- 19, 85) * (19, 85 + 7-20, 12) * (19, 85 + 20, 12-7)) = ¼ * √ (46, 97 * 7, 27 * 6, 73 * 32, 97) ≈ ¼ * √75768, 55 ≈ ¼ * 275, 26 = 68, 815.

4

Baserat på triangeln, beräknat i föregående steg och längden på sidorna, som erhållits i det andra steget, beräknar du höjden för var och en av sidorna. Eftersom området är lika med hälften av höjden av längden på den sida som den ligger på, för att hitta höjden, dividera det dubbla området med längden på önskad sida: H = 2 * S / a. För det ovan använda exemplet kommer höjden sänkt till sidan AB att vara 2 * 68.815 / 16.09 ≈ 8.55, höjden till sidan av solen kommer att ha en längd av 2 * 68.815 / 20.12 ≈ 6.84, och för sid AC kommer detta värde att vara lika med 2 * 68, 815 / 7 ≈ 19, 66.

  • givna punkter hitta området av en triangel

Tips 7: Som koordinaterna för trianglarnas vinklar för att hitta ekvationerna på sidorna

I analytisk geometri kan en triangel på ett plan specificeras i ett kartesiskt koordinatsystem. Genom att känna till koordinaterna för punkterna kan du kompensera ekvationerna på sidorna av triangeln. Dessa kommer att vara ekvationerna i tre linjer, som skär, bildar en figur.

Du behöver

  • penna
  • - notera papper;
  • - kalkylator.

instruktion

1

En rak linje på ett plan beskrivs av ekvationen: ax + med + с = 0, där x, y är koordinaterna längs 0x-axeln och 0-axeln på vilken punkt som helst av raklinjen; a, b, c är numeriska koefficienter. Dessutom kan a och b inte lika med noll samtidigt. Denna typ av post kallas den allmänna ekvationen för en rad.

2

Du kan också ange en rak linje med uttrycket: y = kx + c. Denna ekvation är en rak linje med lutningen k, vilken är tangenten för den vinkel som bildas när den givna raka linjen korsar 0x-axeln.

3

Om du känner till koordinaterna för två punkter A (x1, y1), B (x2, y2) kan du skriva ekvationen för en rät linje som dras genom dessa punkter med proportionen: (y-y1) / (y1-y2) = (x-x1) / (y1-y2). Sedan omvandlar du denna likhet, ta den till formuläret som i steg 1 eller 2.

4

Tänk på algoritmen för att lösa problemet på ett visst exempel. Tre hörn av en triangel med kända koordinater ges: A (9; 8), B (7; -6), C (-7; 4). Skriv ekvationen för de linjer som bildar den.

5

Hitta ekvationen för linjen AB. Använd formeln från steg 3 och ersätt värdena för koordinaterna för punkterna A och B: (y-8) / (8 - (- 6)) = (x-9) / (9-7). Omforma det: (y-8) / 14 = (x-9) / 2 eller 2 (y-8) = 14 (x-9). Minska ekvationen genom att dividera de vänstra och högra delarna i två och expandera parenteserna: y = 7x-63 + 8 = 7x-55.
Ekvation för AB: y = 7x-55. Eller: 7x-y-55 = 0 (AB).

6

På samma sätt skriver du ekvationen för direktsolen: (y - (- 6)) / (- 6-4) = (x-7) / 7 - (- 7)). (y + 6) / (- 10) = (x-7) / 14. 7 (y + 6) = -5 (x-7). 7y + 42 = -5x + 35. 7u = -5x-7. y = -5 / 7x-1.
Ekvationen för solen: y = -5 / 7x-1. Eller: -5x-7y-7 = 0 (BC).

7

Därefter ekvationen för direkt SA: (y-8) / (8-4) = (x-9) / (9 - (- 7)). 16 (y-8) = 4 (x-9). 4y-32 = x-9. 4u = x-9 + 32. y = 0, 25 x + 5, 75.
Ekvation för SA: y = 0, 25 x + 5, 75. Eller: x-4 + 23 = 0 (CA).

8

Du har gjort ekvationerna på de tre sidorna av figuren. Att självtest bygga en triangel i koordinatsystemet. Finn i ritningen värdena på korsningen av raka linjer med axeln 0y. Jämför dessa koordinater med de som erhållits i ekvationen. Till exempel, för (BC) med y = 0, x = -1, 4.