Hur man hittar gränserna


Båtspecial: Här hittar du de dolda felen (Maj 2019).

Anonim

I regel börjar studien av metoden för beräkning av gränser med en studie av gränserna för fraktionerade rationella funktioner. Vidare är funktionerna i fråga komplicerade, och uppsättningen regler och sätt att arbeta med dem expanderar (till exempel L'Hôpital-regeln). Men du bör inte komma framför dig själv, bättre, utan att ändra traditionen, för att överväga frågan om gränserna för fraktionerade rationella funktioner.

instruktion

1

Det bör påminnas att en fraktionell rationell funktion är en funktion som representerar förhållandet mellan två rationella funktioner: R (x) = Pm (x) / Qn (x). Här Pm (x) = a0x ^ m + a1x ^ (m-1) + .

+ a (m-1) x + am; Qn (x) = b0x ^ n + b1x ^ (n-1) +.

+ b (n-1) x + bn

2

Tänk på gränsen för R (x) vid oändligheten. För att göra detta omvandlar du form Pm (x) och Qn (x) .Pm (x) = (x ^ m) (a0 + a1 (x ^ ((m-1) -m)).

+ a (m-1) (x ^ (1-m)) + am (x ^ (-m))) = (x ^ m) (a0 + a1 (1 / x) +.

+ a (m-1) (1 / x ^ (m-1)) + am / (1 / x ^ m).

3

gränser / starka "> När x tenderar att vara oändligt, försvinner alla gränser för formen 1 / x ^ k (k> 0). Detsamma kan sägas om Qn (x). Det återstår att hantera gränsen för förhållandet (x ^ m) / (x ^ n) = x ^ (mn) vid oändlighet. Om n> m är det noll om n

4

Nu måste vi anta att x tenderar att nollställas. Om vi ​​tillämpar substitutionen y = 1 / x och, förutsatt att an och bm är icke-noll, visar det sig att när x tenderar att noll, tenderar y att vara oändligt. Efter enkla transformationer som du enkelt kan utföra själv) blir det klart att regeln för att hitta gränsen tar formen (se bild 2).

5

Mer allvarliga problem uppstår när man söker efter gränser där argumentet tenderar att vara numeriska värden, där fraktionsnämnaren är noll. Om telleren vid dessa punkter också är noll, uppträder osäkerheter som [0/0] annars finns det ett avtagbart mellanrum i dem, och en gräns kommer att hittas. Annars finns det inte (inklusive oändlighet).

6

Metoden för att hitta gränsen i denna situation är som följer. Det är känt att något polynom kan representeras som en produkt av linjära och kvadratiska faktorer, och kvadratiska faktorer är alltid icke-noll. Linjära kommer alltid att skrivas om som kx + c = k (xa), där a = -c / k.

7

Vidare är det känt att om x = a är roten till polynomet Pm (x) = a0x ^ m + a1x ^ (m-1) +.

+ a (m-1) x + am (det vill säga en lösning på ekvationen Pm (x) = 0), sedan Pm (x) = (xa) P (m-1) (x). Om dessutom x = a och Qn (x), då Qn (x) = (xa) Q (n-1) (x). Då R (x) = Pm (x) / Qn (x) = P (m-1) (x) / Q (n-1) (x).

8

När x = a inte längre är roten till minst en av de nyligen erhållna polynomerna löses problemet med att hitta gränsen och lim (x → a) (Pm (x) / Qn (x)) = P (m-1) (a) / Qn (a). Om inte, bör den föreslagna metoden upprepas tills eliminering av osäkerhet.

  • Shipachev V.S. Högre matematik Proc. för universitet. - M.: Högre. skolan. 2003. - 479 s.