Tips 1: Hur man hittar integralet

Anonim

Integrets koncept är direkt relaterat till begreppet primitiv funktion. Med andra ord, för att hitta integralet av den angivna funktionen är det nödvändigt att hitta en sådan funktion i relation till vilken den initiala kommer att vara ett derivat.

instruktion

1

Integralet hänför sig till begreppen matematisk analys och representerar grafiskt området för en krökt linjär trapezoid, begränsad på abscissaxeln med de begränsande punkterna för integration. Att hitta integralet av en funktion är mycket svårare än att hitta dess derivat.

2

Det finns flera metoder för beräkning av obestämd integral : direktintegration, introduktion under differentialtecken, substitutionsmetod, integration av delar, Weierstrass-substitution, Newton-Leibniz-teorin etc.

3

Direktintegration innebär minskning av det ursprungliga integralet till ett tabellvärde med hjälp av enkla transformationer. Till exempel: ∫dy / (sin²y · cos²y) = ∫ (cos²y + sin²y) / (sin²y · cos²y) dy = dy / sin²y + dy / cos²y = -ctgy + tgy + C.

4

Införandemetoden under tecken på differentialen eller ersättningen av en variabel är formuleringen av en ny variabel. Samtidigt reduceras det ursprungliga integralet till ett nytt integral som kan transformeras till en tabellform med hjälp av direktintegrationsmetoden. Antag att det finns en integrerad ∫f (y) dy = F (y) + C och en viss variabel v = g (y), då: ∫f y) dy -> ∫f (v) dv = F (v) + C.

5

Några enklaste substitutioner bör komma ihåg att göra det enklare att arbeta med den här metoden: dy = d (y + b); ydy = 1/2 · d (y² + b); sinydy = -d (mysigt); cosydy = d (siny).

6

Exempel: ∫dy / (1 + 4 · y²) = ∫dy / (1 + (2 · y) ²) = [dy -> d (2 · y)] = 1/2 · ∫d (2 · y) / (1 + (2 · y) ²) = 1/2 · arctg2 · y + C.

7

Integration av delar utförs enligt följande formel: ∫udv = u · v - ∫vdu. Exempel: ∫y · sinydy = [u = y; v = siny] = y · (-cosy) - ∫ (-cosy) dy = -y · mysigt + sinus + C.

8

I de flesta fall finns ett bestämt integral av Newton-Leibniz-teorin: ∫f (y) dy på intervallet [a; b] är F (b) - F (a). Exempel: Hitta ∫y · sinydy på intervallet [0; 2π]: ∫y · sinydy = [u = y; v = siny] = y · (-kosy) - ∫ (-cosy) dy = (-2π · cos2π + sin2π) - (-0 · cos0 + sin0) = -2π.

Tips 2: Hur man beräknar integralfunktionen

Integralkalkyl är en del av matematisk analys, vars grundläggande begrepp är primitiv funktion och integral, dess egenskaper och beräkningsmetoder. Den geometriska innebörden av dessa beräkningar är att hitta området för en krökt linjär trapezoid begränsad av gränserna för integrationen.

instruktion

1

I regel minskar beräkningen av integralet för att bringa integranten till en tabellform. Det finns många tabulära integraler som underlättar lösningen av sådana problem.

2

Det finns flera sätt att integrera en praktisk form: direkt integration, integration i delar, substitutionsmetoden, introduktion under differentialens tecken, Weierstrass-substitution etc.

3

Den direkta integrationsmetoden är den sekventiella minskningen av en integrering i en tabellform med elementära transformationer: ∫ ²s² (x / 2) dx = 1/2 • (1 + cos x) dx = 1/2 • ∫dx + 1/2 • ∫ cos xdx = 1/2 • (x + sin x) + C, där C är en konstant.

4

Integralen har många möjliga värden baserade på primitiva egenskaper, nämligen närvaron av en summerbar konstant. Således är lösningen som finns i exemplet vanligt. En partiell lösning av integralet är vanligt för ett visst värde av en konstant, exempelvis C = O.

5

Integration av delar används när integrand är en produkt av algebraiska och transcendentala funktioner. Metoden för metoden är: ∫udv = u • v - ∫vdu.

6

Eftersom positionerna av faktorer i produkten inte spelar någon roll, är det bättre att välja den del av uttrycket som blir enklare efter differentiering som funktionen u. Exempel: ∫x · ln xdx = [u = ln x; v = x; dv = xdx] = x² / 2 · ln x - ∫x² / 2 · dx / x = x² / 2 · ln x - x² / 4 + C.

7

Införandet av en ny variabel är en metod för substitution. I det här fallet ändras både integandet av funktionen och dess argument: ∫x · √ (x - 2) dx = [t = x-2 → x = t² + 2 → dx = 2 · tdt] = ∫ (t² + 2) t · 2 · tdt = ∫ (2 · t ^ 4 + 4 · t²) dt = 2 · t ^ 5/5 + 4 · t³ / 3 + C = [x = t² + 2] = 2/5 · (x - 2) ^ (5/2) + 4/3 · (x - 2) ^ (3/2) + C.

8

Införandemetoden under tecken på differentialen innebär en övergång till en ny funktion. Låt ∫f (x) = F (x) + C och u = g (x), då ∫f (u) du = F (u) + C [g '(x) = dg (x)]. Exempel: ∫ (2 · x + 3) ²dx = [dx = 1/2 · d (2 · x + 3)] = 1/2 · ∫ (2 · x + 3) ²d (2 · x + 3) = 1/6 · (2 ​​· x + 3) ³ + C.