Tips 1: Hur man löser polynomier


CA Algebra I: Completing the square | Quadratic equations | Algebra I | Khan Academy (Maj 2019).

Anonim

Ett polynom är en algebraisk summa av produkter av tal, variabler och deras grader. Polynomialtransformation innebär vanligtvis två typer av problem. Uttrycket behöver antingen förenklas eller faktoriseras, dvs. presentera den i form av en produkt av två eller flera polynom eller en monom och ett polynom.

instruktion

1

För att förenkla ett polynom, ge liknande termer. Ett exempel. Förenkla uttrycket 12ax² - y³ - 6ax² + 3a²x - 5ax² + 2y³. Hitta monomialer med samma bokstavsdel. Vik dem. Skriv ner uttrycket: ax² + 3a²x + y³. Du har förenklat polynomet.

2

I uppgifter som kräver expansion av ett polynom till faktorer, bestämma den gemensamma faktorn för detta uttryck. För att göra detta, lägger du först ur parentes de variabler som ingår i alla medlemmar av uttrycket. Och dessa variabler ska ha den minsta indikatorn. Beräkna sedan den största gemensamma faktorn för var och en av polynomernas koefficienter. Modulen av det erhållna numret är koefficienten för den gemensamma faktorn.

3

Ett exempel. Faktorera polynomialet 5m³ - 10m²n² + 5m². Ta bort parentesen, eftersom variabeln m ingår i varje medlem av detta uttryck och dess minsta exponent är två. Beräkna koefficienten för den gemensamma faktorn. Han är lika med fem. Således är den gemensamma faktorn för detta uttryck 5m². Härifrån: 5m³ - 10m²n² + 5m² = 5m² (m - 2n² + 1).

4

Om uttrycket inte har en gemensam faktor, försök sönderdela den genom att gruppera. För att göra detta förenar vi i grupp de medlemmar som har gemensamma faktorer. Flytta den gemensamma faktorn ur varje grupp för parenteserna. Faktor ut den gemensamma faktorn för alla de grupper som bildas.

5

Ett exempel. Faktorera polynomet a³ - 3a² + 4a - 12. Grupp enligt följande: (a3 -3a2) + (4a - 12). Faktor ut en gemensam faktor a2 i den första gruppen och en gemensam faktor 4 i den andra gruppen. Härifrån: a² (a - 3) +4 (a - 3). Utan parenteserna a - 3 polynom får du: (a - 3) (a² + 4). Därför a³ - 3a² + 4a - 12 = (a - 3) (a2 + 4).

6

Vissa polynomier faktoriseras med förkortade multiplikationsformler. För att göra detta, ta polynomet till önskad typ i sättet att gruppera eller genom att bromsa den gemensamma faktorn. Använd därefter lämplig reducerad multiplikationsformel.

7

Ett exempel. Sprid ut polynom 4x² - m² + 2mn - n². Fäst de sista tre medlemmarna, medan de är ur parentes -1. Få: 4x²- (m² - 2mn + n²). Uttrycket inom parentes kan representeras som kvadraten av skillnaden. Härifrån: (2x) ²- (m - n) ². Detta är skillnaden mellan kvadrater, vilket betyder att vi kan skriva: (2x - m + n) (2x + m + n). Således är 4x² - m² + 2mn - n2 = (2x - m + n) (2x + m + n).

8

Vissa polynom kan faktoriseras med metoden för obestämda koefficienter. Så kan varje tredje grad polynom representeras som (y - t) (my² + ny + k), där t, m, n, k är numeriska koefficienter. Därför reduceras uppgiften för att bestämma värdena för dessa koefficienter. Detta görs på grundval av denna jämlikhet: (y - t) (my² + ny + k) = my³ + (n - mt) y2 + (k - nt) y - tk.

9

Ett exempel. Faktorera polynomet 2a³ - a² - 7a + 2. Från den andra delen av formeln för ett tredje gradens polynom gör du lika: m = 2; n - mt = -1; k - nt = -7; -Tk = 2. Skriv dem i form av ett system av ekvationer. Lös det. Du hittar värdena t = 2; n = 3; k = -1. Ersätt de beräknade koefficienterna i den första delen av formeln, få: 2a3 - a2 - 7a + 2 = (a - 2) (2a2 + 3a - 1).

  • Polynomial faktorisering
  • hur man faktor till ett polynom

Tips 2: Vad är ett polynom

Matematisk vetenskap studerar olika strukturer, sekvenser av tal, relationer mellan dem, sammanställning av ekvationer och deras lösning. Detta är ett formellt språk som tydligt kan beskriva de ungefärliga egenskaperna hos reella objekt som studeras inom andra vetenskapsområden. En av dessa strukturer är ett polynom.

instruktion

1

Ett polynom eller polynom (från grekiska. "Poly" - många och lat. "Nomen" -namn) är en klass av elementära funktioner i klassisk algebra och algebraisk geometri. Detta är en funktion av en variabel, som har formen F (x) = c_0 + c_1 * x +.

+ c_n * x ^ n, där c_i är fixerade koefficienter, x är en variabel.

2

Polynomier används i många sektioner, inklusive noll, negativt och komplext tal, teorin om grupper, ringar, knutar, uppsättningar etc. Använda polynomberäkningar förenklar kraftigt uttrycket av egenskaper hos olika objekt.

3

Grundläggande definitioner av ett polynom:
• Varje term av ett polynom kallas för monom eller monom.
• Ett polynom som består av två monomialer kallas binomial eller binomial.
• Polynomiska koefficienter - reella eller komplexa tal.
• Om ledningskoefficienten är 1, kallas polynomet enhetligt (reducerat).
• Graden av en variabel i varje monom är icke-negativa heltal, den maximala graden bestämmer graden av ett polynom och dess fulla grad är ett heltal som är lika med summan av alla grader.
• Den monom som motsvarar nollgraden kallas fri term.
• Ett polynom, vars alla monomier har samma fulla grad, heter homogena.

4

Några ofta använda polynomier är uppkallade efter forskaren som identifierade dem och beskriver också de funktioner som de ställer in. Till exempel är Newtons binomial en formel för att sönderdela ett polynom av två variabler i separata termer för beräkning av krafter. Dessa är summan av kvadrerade summa och skillnadsregister (a + b) ^ 2 - a ^ 2 + 2 * a * b + b ^ 2, (a - b) ^ 2 = a ^ 2 - 2 * a * b + b ^ 2 och skillnaden mellan kvadraterna (a ^ 2 - b ^ 2) = (a - b) * (a + b).

5

Om vi ​​tillåter negativa grader i polynom notationen, får vi en polynom eller Laurent-serie; Chebyshev-polynom används i approximationsteori; Hermitpolynom - i sannolikhetsteori; Lagrange - för numerisk integration och interpolation; Taylor - med tillnärmning av funktionen etc.

Var uppmärksam

Binom Newton nämns ofta i böcker ("Mästaren och Margarita") och filmer ("Stalker") när tecken löser matematiska problem. Denna term är välkänd, därför anses den vara den mest kända polynomen.

Tips 3: Hur sönderdelas 90 i två ömsesidigt enkla faktorer

Ömsesidigt enkla faktorer är siffror som inte har gemensamma divisorer, förutom en. Algoritmen är ganska enkel, försök att överväga den med ett exempel: sönderdela talet 90 i två ömsesidigt enkla faktorer.

instruktion

1

Först och främst bestämma vilka faktorer som talet 90 har i allmänhet, det vill säga i vilka siffror det kan delas utan återstod. Börja med en och kontrollera sedan alla siffror: du får 1, 2, 3, 5, 9, 10, 18, 30, 45.

2

Försök hitta alla faktorerna i talet 90 på ett annat sätt: sönderdela den till primära faktorer. Det minsta primtalet (efter 1) är 2. Antalet 90 är uppdelat utan återstod, så det blir det första bland de främsta faktorerna. Dela sedan 90 med 2, du får 45. Detta nummer divideras inte med 2.

3

Nästa huvudtal är 3. Dela 45 med 3 - du får 15. Nu hämtar du den tredje faktorn. Det minsta primtalet, som kan delas med 15 utan resten, är 3. Därför är detta den tredje faktorn. Delar 15 av 3, du får nummer 5. Den är uppdelad endast i sig själv, vilket betyder att det är din sista enkla faktor. Således kan 90 delas in i följande primära faktorer: 2, 3, 3, 5. Kontrollera: multiplicera dem tillsammans, du kommer att få 90 igen.

4

Nu, att veta de enkla faktorerna, hitta alla de andra genom att helt enkelt multiplicera dem i olika kombinationer. Exempelvis kommer en av de sammansatta faktorerna i talet 90 att vara 2x3 = 6, en annan 2x5 = 10, den tredje 3x5 = 15, den fjärde 2x3x3 = 18, den femte 2x3x5 = 30, den sjätte 3x3x5 = 45.

5

Bestäm vilken av de erhållna faktorerna som är ömsesidigt enkla, det vill säga har inga gemensamma divisorer (utom en) och deras produkt ska vara lika med 90. Eftersom numret 90 kan erhållas genom att multiplicera de fyra siffrorna 2, 3, 3, 5, då Sådana nummer: 2 och 3x3x5, samt 2x3x3 och 5. Om numret 3 visas i båda faktorerna kommer de att vara multiplar av det, det vill säga de kommer inte vara ömsesidigt enkla. Således får du två par ömsesidigt enkla faktorer för nummer 90, det är 2 och 45 samt 18 och 5.

6

Kontrollera dig själv: multiplicera 2 med 45, du kommer att få 90. Samtidigt, genom att sönderdela 45 till primära faktorer (5 * 3 * 3), kommer du att förstå att detta nummer inte är uppdelat med 2 utan resten. På samma sätt kontrollera det andra paret av ömsesidigt enkla faktorer.