Hur man bestämmer mitten av massan


Tjäna massa pengar för under hundringen (Juni 2019).

Anonim

Massens centrum är kroppens viktigaste geometriska och tekniska karaktär. Utan att beräkna dess koordinater är det omöjligt att föreställa sig ingenjörsdesign inom teknik, lös problem med konstruktion och arkitektur. Den exakta bestämningen av koordinaterna för masscentrumet utförs med hjälp av en integrerad kalkyl.

instruktion

1

Du bör alltid börja från den enkla och gradvis flytta till svårare situationer. Antag att massans centrum för en kontinuerlig platt figur D bestäms, vars densitet är ρ konstant och jämnt fördelad inuti den. Argumentet x varierar från a till b, y från c till d. Bryt formen med ett vertikalt galler (x = x (i-1), x = xi (i = 1, 2, .

, n)) och horisontella linjer (y = y (j-1), y = xj (j = 1, 2, .

, m)) till elementära rektanglar med baser хi = xi-x (i-1) och höjder Δyj = yj-y (j-1) (se Fig. 1). I det här fallet hittar du mittpunkten för det elementära segmentet Δxi som ξi = (1/2) [xi + x (i-1)] och höjden yyj as ηj = (1/2) [yj + y (j-1)]. Eftersom densiteten fördelas jämnt, kommer mitten av massan av den elementära rektangeln att sammanfalla med dess geometriska centrum. Det är, Hci = ξi, Yci = ηj.

2

Mass M av en platt figur (om den är okänd), beräkna som produkt av densitet och yta. Byt det elementära området med ds = ΔxiΔyj = dxdy. Föreställ dig Δmij i formen dM = ρdS = ρdxdy och få sin massa med formeln som visas i figuren. 2a. Vid små steg antas att massan Δmij är koncentrerad vid materialpunkten med koordinaterna Xci = ξi, Yci = ηj. Det är känt från mekanikens problem att varje koordinat av mitten av massan av ett system av materialpunkter är lika med en fraktion, vars täljare innehåller summan av statiska massmoment mv relativt den motsvarande axeln och nämnaren är lika med summan av dessa massor. Det statiska ögonblicket för massa mv, i förhållande till 0x-axeln, är lika med yν * mν och i förhållande till 0y xν * mν.

3

Tillämpa den här regeln på den aktuella situationen och få approximativa värden för de statiska ögonblicken Јх och Ју i formen Ју≈ {ΣξνρΔxνΔyν}, Јх≈ {ΣηνρΔxνΔyν} (summering gjordes på v från 1 till N). Summan uttryck i den sista är integrerade. Gå till gränserna som Δхν → 0 Δyν → 0 och skriv ned de slutliga formlerna (se fig 2b). Mätcentrumets koordinater återfinns genom att dividera motsvarande statistiska moment med den totala massan av figuren M.

4

Metoden för att erhålla koordinaterna för mitten av massan av den rumsliga figuren G skiljer sig endast från det faktum att trippelintegraler uppstår och de statiska momenten beaktas i förhållande till koordinatplanen. Vi bör inte glömma att densiteten inte nödvändigtvis är konstant, det vill säga ρ (x, y, z) const. Därför har det slutliga och samyiska allmänna svaret formen (se fig 3).

  • Piskunov N.S. Differensiell och integrerad kalkyl. V. 2., M.: 1976, 576 s., Il.