Fem unika cirklar i en triangel


Ihopsättning av en mormorsväska ;-) (Juni 2019).

Anonim

En elementär konstruktion av platta geometriska figurer, som cirklar och trianglar, som kan överraska matematikens älskare.

instruktion

1

Naturligtvis är det i vår moderna ålder svårt att överraska någon med sådana elementära figurer på ett plan som en triangel och en cirkel. De har länge studerats, lagar har länge tagits fram, vilket gör det möjligt att beräkna alla parametrar. Men ibland i att lösa olika problem kan man möta fantastiska saker. Tänk på en intressant konstruktion. Ta en godtycklig triangel ABC, där sidan av AU är den största av sidorna och gör följande:

2

Först bygger vi en cirkel med centrum "A" och en radie lika med sidan av triangeln "AB". Korsets korsningspunkt med sidan av triangeln AC betecknas som punkten "D".

3

Sedan står vi en cirkel med centrum "C" och en radie som är lika med segmentet "CD". Korsningspunkten för den andra cirkeln med sidan av triangeln "CB" betecknas som punkten "E".

4

Nästa cirkel är byggd med mitten "B" och en radie som är lika med segmentet "BE". Korsningspunkten för den tredje cirkeln med sidan av triangeln "AB" betecknas som punkten "F".

5

Den fjärde cirkeln är byggd med mitten "A" och en radie som är lika med segmentet "AF". Korsningspunkten för den fjärde cirkeln med sidan av triangeln "AC" vi betecknar som punkten "K".

6

Och vi bygger den sista, femte cirkeln med centrum "C" och en radie av "SK". I denna konstruktion är följande intressant: toppen av triangeln "B" faller tydligt på den femte cirkeln.

7

För trovärdighet kan du försöka att upprepa konstruktionen med en triangel med olika längder av sidorna och hörnen med endast ett villkor att sidan "AC" är den största av sidorna av triangeln, men fortfarande den femte cirkeln faller tydligt in i vertexen "B". Detta betyder bara en sak: den har en radie lika med sidan "CB", respektive segmentet "SC" är lika med sidan av triangeln "CB".

8

En enkel matematisk analys av den beskrivna konstruktionen ser ut som följer. Segmentet "AD" är lika med sidan av triangeln "AB" eftersom poängen "B" och "D" är i samma cirkel. Radien för den första cirkeln är R1 = AB. Segmentet CD = AC-AB, det vill säga radien för den andra cirkeln: R2 = AC-AB. Segmentet "CE" är lika med radien för den andra cirkeln R2, vilket betyder segmentet BE = BC- (AC-AB), då är radien för den tredje cirkeln R3 = AB + BC-AC
Segmentet "BF" är lika med radien för den tredje cirkeln R3, varigenom segmentet AF = AB- (AB + BC-AC) = AC-BC, det vill säga radien för den fjärde cirkeln R4 = AC-BC.
Segmentet "AK" är lika med radien för den fjärde cirkeln R4, varigenom segmentet SC = AC- (AC-BC) = BC, det vill säga radien för den femte cirkeln R5 = BC.

9

Från den erhållna analysen är det möjligt att dra en entydig slutsats att med en sådan konstruktion av cirklar med centra vid en triangels vertikaler ger den femte konstruktionen av en cirkel en cirkelradie som är lika med sidan av triangeln BC.

10

Vi fortsätter ytterligare resonemang kring denna konstruktion och bestämmer vad summan av cirklarna är, och det här får vi: ΣR = R1 + R2 + R3 + R4 + R5 == AB + (AC-AB) + (AB + BC-AC) + (AC-BC) + Sun. Om vi ​​öppnar parenteserna och ger liknande termer får vi följande: ΣR = AB + BC + AC
Uppenbarligen är summan av radierna för de resulterande fem cirklarna med centren vid trianglarnas snitt lika med omkretsen av denna triangel. Följande är också anmärkningsvärt: segmenten "BE", "BF" och "KD" är lika med varandra och lika med radien för den tredje cirkeln R3. BE = BF = KD = R3 = AB + BC-AC

11

Naturligtvis är allt detta relaterat till elementär matematik, men kanske har någon praktisk betydelse och kan tjäna som grund för ytterligare forskning.