Hur upptäcktes irrationella tal?


Pythagoras-boxen. Den Komiska sidan av en matematisk tragedi (Juni 2019).

Anonim

Matematik är vetenskapen om siffror, och precis som vilken annan form av vetenskap det hela tiden utvecklas. Ändringar i vetenskaplig tanke är emellertid inte alltid välkomna, eftersom de strider mot den populära troen, även om den populära tron ​​i de flesta fall är fel. På liknande sätt utmanade upptäckten av irrationella tal de etablerade doktrinerna av siffror och utvidgade matematikvärlden för alltid.

I 5: e århundradet f.Kr. grekland noterades Hippasus som en av de tidigaste revolutionärerna. Han var en italiensk filosof som också var medlem i en grupp människor som kallades de pythagoranska matematikerna. De trodde att "allt är antal", vilket innebar att de hade en religiös vördnad för matematik och föreslog att siffrorna var universums byggstenar.

Enligt dem kan allt förstås genom tal av språk. Var det rörelsen av stjärnor i natthimlen, den musik som vi lyssnar på, eller ens de moraliska besluten hos folket. Matematikerna hävdade att allt alltid följde eviga regler och att de naturligtvis kände sig hotade när dessa regler ifrågasattes.

Nej det gör vi inte

.

. bara du!

Vad är rationella och irrationella tal?

Vår tidigaste grund för antal och matematik härrör från det praktiska behovet att räkna och mäta saker. Det är intuitivt att se hur positiva, icke-noll naturliga tal skulle uppstå "naturligt" från räknings processen. Även fraktioner är lätta att förstå, på grund av behovet av att dela mätbara mängder i mindre delar. Emellertid var gruppen av filosofer traditionell och deras förståelse av siffror baserades på det faktum att varje tal kunde representeras som ett förhållande av två olika tal som inte hade någon gemensam divisor utom 1. Till exempel kan 24 representeras som 24/1, medan 0, 6 kunde representeras som 3/5.

Dessa siffror är idag kända som rationella tal. Namnet "irrationella tal" betyder inte bokstavligen att dessa siffror är "saknade logik". Varje tal som inte kunde uttryckas på ett liknande sätt är ett irrationellt nummer. Ett sådant tal skulle lätt kunna ritas på en tallinje, såsom genom att skissera en kvadratisk diagonal. Även om folk var medvetna om förekomsten av sådana siffror, hade det ännu inte visat sig att de motsatte sig definitionen av rationella tal.

Fyrkant med sida '1'

Vad gjorde Hippasus?

Hippasus krediteras i historien som den första personen för att bevisa förekomsten av "irrationella" nummer. Hans metod involverade tekniken av motsägelse, där han först antog att "Rot 2" är ett rationellt tal. Han fortsatte sedan med att visa att inget sådant rationellt tal kunde existera. Därför måste det vara något annat.

Anledningen till att han valde "Root 2" för sina beräkningar är dubbelt. För det första är det den enklaste tekniken för att bevisa förekomsten av irrationella tal. För det andra har den stor betydelse för pythagoreerna. Pythagoras hade själv bevisat att summan av sidorna i sidorna i en rätt triangel alltid är lika med hypotenusens torg. För den enklaste rätvinkliga triangeln, som är enhetsbaserad och enhetshöjd, är hypotenusens längd "Rot 2". Men han kan försöka uttrycka detta som ett förhållande, han misslyckades. I stället för att ge upp, bestämde han sig för att bevisa att det inte kunde göras.

Metod:

  1. Han antog först att "Rot 2" är ett rationellt tal. Eftersom varje rationellt tal kan uttryckas som ett förhållande, kan det enligt hans antagande även "Rot 2" uttryckas som p / q, vilket är ett förhållande. Här är p och q heltal och har INTE några gemensamma faktorer utom 1, vilket är hur vi definierar den lägsta formen av en rationell talrepresentation. Till exempel kan 2 representeras som 4/2 eller 6/3, men som regel representeras den av sin lägsta form 2/1.
  2. Därefter sa han att eftersom q inte är noll, kan det multipliceras på båda sidor.
  3. Om båda sidorna är kvadrade, 2 ( q) 2 = p 2
  4. Vi vet att kvadrater av udda tal alltid ger ett udda tal, medan kvadraten med ett jämnt tal alltid ger ett jämnt tal. Till exempel 5 2 = 25, 31 2 = 961, 52 2 = 2704 etc. Eftersom q är ett heltal, måste p vara ett jämnt heltal eftersom det är lika med 2 gånger q 2. Därför kan p ersättas med 2x, där x är ett heltal, så att 2x alltid är jämn.
  5. När vi ersätter p med 2x i ekvationen erhåller vi 2q 2 = 4x 2 eller q 2 = 2x 2 . Detta innebär att q också är ett jämnt heltal eftersom det är 2 gånger x 2.
  6. Intressant var att det ursprungliga villkoret var att p och q inte kunde ha några gemensamma faktorer. Men genom enkel algebra verkar vi ha kommit fram till slutsatsen att både p och q är lika heltal! Om de är jämn, skulle de alltid ha 2 som en vanlig faktor, vilket strider mot vårt tillstånd.
  7. Detta innebär att vårt ursprungliga antagande om "Rot 2" som ett rationellt tal är falskt och därför måste vara irrationellt.


  • Upptäckt av Irrationell Numbers-Tutor Circle
  • Göra känsla av irrationella nummer - TedEd