Vad är Fibonacci-sekvensen? Varför är det så speciellt?

How reliable is your memory? | Elizabeth Loftus (Juni 2019).

Anonim

Matematik är studien av mönster. Medan alla mönster tenderar att överensstämma med de stränga reglerna för logik, skapar bara några av dem kreativitet. Det är absurt för mig hur en enda, en-tums ekvation kan tillfälligt ha din hand och leda dig att rita de mest utsökta siffrorna. Det är anmärkningsvärt hur dessa komplexa siffror kan minskas till tre symboler och två parallella linjer. Jag använder termen innehar för att vi för tillfället blint gör vad ekvationens kommando, och litar på profetian, börjar vi markera prickar som i början verkar oförbindliga.

Men vi fortsätter att erkänna. Verktygen klinkar och den obnoxious linjalen vägrar att lyftas tills intrycket på pappret är i huvudsak en samling oändliga prickar; svarta prickar kvar av penna och vita prickar pekade av kompassen. De oändliga prickarna låser upp sig snabbt och lydigt inriktad precis som logiken kräver dem. Medan den minimalistiska läckerheten i en cirkel glädjas av abstraktionisten i en polyhedron.

Då finns det numeriska mönster, en sekvens av siffror som periodiskt upprepas. Människor är i sig mönster-sökande varelser. Faktum är att vi är så skickliga på att koppla prickarna att dessa mönster inte är exklusiva för prickar, utan utvidgas också till sammanhang. Utseendet på ett mönster eller en figur med en vice eller en dygd korrelerar förekomsten av de två. De har varit drivkraften bakom kulturer i en myriad av samhällen.

Illuminati symbolen & Wow! signal (Foto Credit: Quintendp099 & NAAPO / Wikimedia Commons)

Det finns ett element av fromma som människor länge har förknippat med vissa figurer och grupper, som The Illuminati . Å andra sidan föredrar forskare och matematiker att associera en form av intellektuellt mysterium mot sådana mönster. Tänk på Wow! Signal, ett mönster av alfabet mottagna oväntat bland siffror vid Oohio's Big Ear-radioteleskop, som antydde utomjordisk aktivitet.

Men det finns också ett mönster av siffror som uppmuntrar inte bara mysterium utan helighet, för det framträder på platser man aldrig skulle förvänta sig. Tänk på det här mönstret - 13-3-2-21-1-1-8-5 - ritat av den mordade museet kurator Jacques Saunière som en ledtråd för Tom Hanks i Da Vinci-koden .

Fibonacci nummer

Leonardo Pisano, allmänt känd som Fibonacci. (Foto Credit: Dr. Manuel på tyska Wikipedia / Wikimedia Commons)

Fibonacci fascinerades enormt av hindu-arabisk matematik. Européer vid den tiden fortsatte att använda den omfattande uppsättningen romerska siffror, medan hinduerna och araberna hade njutit av det hinduiska arabiska talesystemets dygder - bas-10-tal som sträckte sig från 0-9 - i generationer. Han bestämde sig för att föra dessa idéer till Europa genom att publicera dem i hans högt vördade arbete Liber Abaci.

Boken blev en legend. Däremot sänktes dess popularitet till endast två bidrag: för det första nummersystemet, utan vilket framsteg av modern matematik inte skulle ha varit möjliga. och för det andra ett hypotetiskt, orealistiskt problem om avel av kaniner. Fibonacci-numren presenterades först som lösningen på detta problem.

De mystiska Fibonacci-numren

Man kan dela upp sekvensen med vilket som helst nummer för att erhålla ett sådant cykliskt mönster. Till exempel, när siffrorna är dividerade med 7, uppstår en period på 16 nummer. På liknande sätt är periodens längd 20 när divisorn är 5. Även delning med 1/3 resulterar i ett långt band av återkommande, identiska fragment. Matematiker har emellertid inte upptäckt en generell formel som förutspår längden på en period när sekvensen är uppdelad med ett visst tal.

En annan rasande förvirring är de oändliga rätvinklade trianglarna som är gömda i sekvensen. Från och med 5 är varje sekund i sekvensen hypotenus av en rätvinkad triangel vars längre sida är summan av alla sidor av den föregående triangeln och den kortare sidan är skillnaden mellan det överlämnade numret och den kortare sidan av föregående triangel. En bildförklaring hjälper dessa trianglar att förstås bättre.

Vad är den här trollkarlen?

Användningen av abstrakt matte har varit det främsta argumentet i debatten ifrågasatt om matematik uppfanns eller upptäcktes. Det finns teorier som illustrerar den högsta ordningen av matematiskt geni och rigor men är helt isolerade från den verkliga världen. Exempelvis uppfann Newton kalkyl speciellt för att bestämma ekvationen för banan som jorden följde runt solen. Kalkylen visade sig naturligtvis också vara lukrativ i en mängd andra områden, men kan vi säga samma sak om Riemanns hypotes ?

Det finns dock sällsynta fall där mycket esoterisk abstrakt matematik blir tillämplig. Till exempel utvecklade Riemann sina absurda begrepp av krökt geometri på 1850-talet, vilket verkade oanvändbart förrän Einstein använde dem för att återupptäcka tyngdlagen i hans allmänna relativitetsteori . Oförutsägbarheten hos dessa matematiska äktenskap stör oss fortfarande.

Detta är fallet med Fibonacci-numrenas mystiska natur. Trots att de upptäcktes under medeltiden har de upptäckts och återupptäckts, till allas förvirring, på platser som vi aldrig förväntade oss. Vår fascination med Fibonacci-nummer sträcker sig i en sådan utsträckning att en hel tidning är dedikerad till dess särdrag, kallad Fibonacci kvartalsvis.

Tänk på Pascals triangel. När Pascal konsulterades av en spelare om oddsen för resultatet av en dö och besvärets karaktär, uppfann han sannolikhetsteorin för att lösa dessa problem. Pascals triangel är en snygg triangel som bildas av binomialkoefficienter. Triangeln fungerar som ett bord som man refererar till när man expanderar binomialekvationen.

Pascals triangel. (Foto Credit: RDBury / Wikimedia Commons)

Om du skulle rita diagonaler som rör sig nedåt i triangeln och summera siffrorna som ligger på varje enskild diagonal, så ser du serienummer som motsvarar varje diagonal, som du kanske gissat, Fibonacci-numren. Teorin om sannolikhet grundades 400 år efter att Liber Abaci publicerades.

Eller betrakta Mandelbrot-uppsättningen, en matematisk funktion som kan begränsas av ett vackert diagram ritat i det komplexa planet. Diagrammet verkar vara ett hjärtformat blad med små knoppar på kanterna. Dessa knoppar är suffused med otroligt tunna taggar. Diagrammet representerar en fraktal, en struktur vars varje del består av sig själv. Vilket innebär att om du skulle fortsätta zooma in på det, skulle du upptäcka att strukturen återkommer i en oändlig loop.

Mandelbrot inställda diagram. (Fotokredit: Wolfgang Beyer med programmet Ultra Fractal 3. / Wikimedia Commons)

När vi zoomar in i knopparna på kanterna ser vi att knoppen förstorar sig i originalbladet och tre nya knoppar dyker upp på kanterna. Om man skulle fortsätta zooma in, skulle han bevittna denna procession fortsätta och fortsätta för evigt. Men när vi tittar djupare och djupare observerar vi att antalet tornar på varje ny knopp ökar. Ökningen i siffror efterliknar ett visst mönster; det är Fibonacci-sekvensen! Vem kunde eventuellt ha förutsett detta?

Sekvensen dyker också upp i ekonomi och spårar stamtavla av manliga bin. Den används i stor utsträckning inom datavetenskap, där den används för att generera uppfattningsvis slumptal genom algoritmer som kallas Pseudorandom Number Generators. Jag använder uppfattningsbart eftersom de genererade siffrorna inte är riktigt slumpmässiga; De beror alltid på en tidigare ingång.

Det används också i sorteringsalgoritmer där delning av området i proportioner som är två på varandra följande Fibonacci-nummer, och inte två lika delar. Detta gör att jakt ner till en plats till de enklaste matematiska operationerna - tillägg och subtraktion. Medan binär sortering (delning i två lika delar) kräver användning av multiplikation, delning och bitskiftning. Sekvensen används också för att härleda olika andra viktiga matematiska identiteter. Men dess viktigaste applikation finns i våra trädgårdar.

Fibonacci Spiral

Parthenonen. (Foto Kredit: Flickr)

Grekerna upptäckte så småningom denna väsen. Enligt dem är det vackraste sättet att dela en rad i två delar att dela dem i ett förhållande så att den längre delen dividerad med den kortare delen är lika med hela delad med den längre delen. De kallade detta Golden Ratio, och dess värde är 1.618

.

Följaktligen baserade de sin konst och arkitektur på detta förhållande. Ett exempel är arkitekturen av The Parthenon, vars sidor är i Golden Ratio. Även renässans artister var i cahoots med varandra om användningen av detta förhållande. En uppsjö av deras konstverk är beroende av förhållandet för att förstärka sin estetiska överklagande.

Vad har detta värdefulla förhållande att göra med Fibonacci-numren? Kepler observerade en gång att "eftersom 5 är 8 så är 8-13, praktiskt taget, och som 8 är 13, så är det 13 till 21 nästan." Förhållandet mellan två på varandra följande Fibonacci-nummer är ungefär lika med * begynnande långsamma klappar * gyllene snittet! Detta länkar Fibonacci-nummer till en av de mest kända spiralerna på Internet.

Kvadraterna i Fibonacci-nummer kan skrivas så här:

1, 1, 4, 9, 25, 64, 169, 441

.

Inget mystiskt? Låt oss lägga till en massa av dem tillsammans:

1 + 1 + 4 = 6

1 + 1 + 4 + 9 = 15

1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 40

Titta närmare och du kommer märka att 6 är produkten av 2 och 3, 15 en produkt av 3 och 5 och 40 en produkt av 5 och 8. Ett konjugalt förhållande mellan Fibonacci-nummer och det gyllene förhållandet blir påfallande - de två siffrorna som utgör dessa produkter är konsekutiva Fibonacci-nummer! Nu, låt oss utföra ovanstående summering pictorially. Varje kvadratkod kan representeras av en kvadrat vars sida mäter lika många enheter som kvadreras.

Så är kvadraten av en representerad av en fyrkant av sida en enhet. Denna ruta läggs sedan till nästa kvadrat i sekvensen - en annan kvadrat på sida en enhet. Därefter läggs 1 × 2 rektangeln till en kvadrat av sido två enheter, som sedan läggs ytterligare till en kvadrat av sid tre enheter och så vidare. Vi inser att produkterna faktiskt var områdena av dessa nya rektanglar.

Eftersom produkterna var i följd Fibonacci-tal kan man urskilja att förhållandet mellan de båda sidorna av en enda rektangel är det gyllene förhållandet! När antalet summor närmar sig oändligheten, närmar sig förhållandet mellan sidor av den befintliga växande rektangeln förhållandets exakta värde. En kurva som kommer från mitten och passerar genom varje kvadrats hörn växer gradvis till en spiral - den gyllene spiralen, som avviker stadigt i en vinkel som kallas den gyllene vinkeln.

Gyllene spiral i nautilusskal (Nautilus Cutaway Logaritmic Spiral) och en tallskott. (Foto Kredit: Chris 73 / Wikimedia Commons & Pixabay)

Den gyllene spiralen finns på en mängd olika platser i naturen, från formen av vår galax till ett nautilusskal. Det reglerar arrangemanget av tallkottar och fruktan av en ananas. Min favorit är dess förekomst i arrangemanget av fröer roterade i mitten av en solros. Med hjälp av termen "rodnad" skulle emellertid skamlöst se över den omfattning av rigor som naturen spenderade under organisationen av dessa frön.

En solros frön avviker i den gyllene vinkeln. (Foto Kredit: Remi Jouan / Wikimedia Commons)

Fröerna är inte justerade som ekrar på ett hjul; De seder sig gradvis utåt. Undvikningsvinkeln är den gyllene vinkeln. Det verkar som om naturen frivilligt valde detta förhållande eftersom att dela cirkeln med ett irrationellt tal orsakade inget frö att ha en granne i samma vinkel från mitten. Detta resulterade i mycket effektiv packning, vilket gav nästan inget utrymme för negativt utrymme. Antalet spiraler, frågar du? 55 i ena riktningen, 89 i den andra. Båda Fibonacci nummer, förstås!